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什么是分析力学

编辑:在职研究生

    分析力学是理论力学的一个分支,它通过用广义坐标为描述质点系的变数,运用数学分析的方法,研究宏观现象中的力学问题。分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系。分析力学的基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。

    研究对象

  是质点系。质点系可视为

  一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可由 1到无穷。又如太阳系可看作自由质点系。研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学同分析力学密切相关,在方法上互相促进。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数随之降低,更易于求解。

    主要内容

  分析力学研究的主要内容是:导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日方程、正则方程,非完整系统的阿佩尔方程等;探求力学的普适原理,如汉密尔顿原理、最小作用量原理等;探讨力学系统的特性;研究求解运动微分方程的方法,例如,研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以判别系统的稳定性等。

  分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同,牛顿法把物体系拆开成分离体,按反作用定律附以约束反力,然后列出运动方程。

    分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始,为了设计复杂的航天器和机器人的需要,发展多刚体系统,并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程,所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

  在量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数,再化成汉密尔顿算符,又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。

    爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。

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